"Līdz bezgalībai un tālāk!"
Vai esat pat padomājis par Buzz Lightyear slaveno piezīmi no filmām “Rotaļlietu stāsts”? Visticamāk ne. Bet varbūt jūs reizēm esat paskatījies nakts debesīs un aizdomājies par pašas bezgalības dabu.
Bezgalība ir dīvains jēdziens, par kuru cilvēka smadzenēm ir grūti ietīt ierobežoto izpratni. Mēs sakām, ka Visums varētu būt bezgalīgs, bet vai tas tiešām var turpināties mūžīgi? Vai arī pi cipari aiz komata - vai tie faktiski darbojas bezgalīgi, vienmēr dodot mums daudz lielāku precizitāti attiecībā uz apļa apkārtmēru un rādiusu? Un, vai Buzz varētu būt taisnība? Vai ir kaut kas ārpus bezgalības?
Lai risinātu šīs prātojošās spekulācijas, Live Science iesaistīja matemātiķa Henrija Towsnera no Pensilvānijas Universitātes Filadelfijā palīdzību, kurš bija pietiekami laipns, lai mēģinātu atbildēt uz jautājumu: "Vai jūs varat saskaitīt pagātnes bezgalību?" (Esiet brīdināts: tas kļūs sarežģīts.)
Towsners sacīja, ka bezgalība atrodas svešā vietā: lielākajai daļai cilvēku šķiet, ka viņiem ir zināma intuīcija par šo koncepciju, bet, jo vairāk viņi par to domā, jo dīvaināku to iegūst.
Turpretim matemātiķi bieži nedomā par bezgalību kā pašu jēdzienu, viņš piebilda. Viņi drīzāk izmanto dažādus veidus, kā par to domāt, lai izpētītu daudzos tā aspektus.
Piemēram, ir dažādi bezgalības izmēri. To pierādīja vācu matemātiķis Georgs Cantor 1800. gadu beigās, balstoties uz St Andrews universitātes Skotijā vēsturi.
Kantoris zināja, ka dabiskie skaitļi - tas ir, veseli, pozitīvi skaitļi, piemēram, 1, 4, 27, 56 un 15 687 - paliek mūžīgi. Tie ir bezgalīgi, un tie ir arī tas, ko mēs izmantojam lietu skaitīšanai, tāpēc viņš tos definēja kā "skaitāmi bezgalīgus", saskaņā ar noderīgu vietni par vēsturi, matemātiku un citām tēmām no izglītības karikatūrista Šarla Fišera Kūpera.
Apšaubāmi bezgalīgu numuru grupām ir dažas interesantas īpašības. Piemēram, pāra skaitļi (2, 4, 6 utt.) Ir arī neskaitāmi bezgalīgi. Un, lai gan tehniski ir uz pusi mazāk no tiem, ko aptver pilns dabisko skaitļu komplekts, viņi joprojām ir tāda paša veida bezgalīgi.
Citiem vārdiem sakot, jūs varat izvietot visus pāra skaitļus un visus dabiskos skaitļus blakus divās kolonnās, un abas kolonnas nonāks līdz bezgalībai, taču tās ir vienādas bezgalības "garumā". Tas nozīmē, ka puse no skaitāmās bezgalības joprojām ir bezgalība.
Bet Kantora lieliskais ieskats bija saprast, ka ir arī citi skaitļu komplekti, kuri ir neizsakāmi bezgalīgi. Patiesie skaitļi, kas ietver dabiskos skaitļus, kā arī frakcijas un neracionālus skaitļus, piemēram, pi, ir bezgalīgāki nekā dabiskie skaitļi. (Ja vēlaties uzzināt, kā Cantor to izdarīja, un kā jūs varat tikt galā ar matemātiskām piezīmēm, varat iepazīties ar šo darblapu Meinas universitātē.)
Ja jūs visus dabiskos skaitļus un visus reālos skaitļus sakārtotu blakus kolonnās divās kolonnās, tad reālie skaitļi pārsniegtu dabisko skaitļu bezgalību. Kantors vēlāk kļuva traks, iespējams, tādu iemeslu dēļ, kas nebija saistīti ar viņa darbu pie bezgalības, sacīja Kūpers.
Kas ir skaitīšana?
Tātad, atgriežoties pie jautājuma par pagātnes bezgalības skaitīšanu. "Tas, kas liek jums jautāt, ir:" Ko tas patiesībā nozīmē? ", Sacīja Towsners. "Ko jūs domājat, skaitot pagātnes bezgalību?"
Lai apskatītu šo jautājumu, Towsners runāja par kārtas numuriem. Atšķirībā no kardinālajiem cipariem (1, 2, 3 un tā tālāk), kas norāda, cik lietu ir komplektā, ordinālus nosaka viņu pozīcijas (pirmais, otrais, trešais utt.), Un matemātikā tos ieviesa arī Cantor, saskaņā ar matemātikas vietni Wolfram MathWorld.
Kārtas skaitļos ir jēdziens, ko sauc par omega un ko apzīmē ar grieķu burtu ω, sacīja Towsners. Simbols ω tiek definēts kā lieta, kas nāk pēc visiem pārējiem naturālajiem skaitļiem - vai, kā to kantoris sauca, pirmais transfinitālais kārtas skaitlis.
Bet viena no lietām, kas saistīta ar skaitļiem, ir tā, ka beigās vienmēr varat pievienot vēl vienu, sacīja Towsners. Tātad pastāv tādas lietas kā ω + 1 un ω + 2 un pat ω + ω. (Ja jums rodas jautājums, jūs galu galā hit numuru hit1, kas ir pazīstams kā pirmais nesaprotams kārtas skaitlis.)
Un tā kā skaitīšana ir tāda pati kā papildu skaitļu pievienošana, šie jēdzieni savā veidā ļauj saskaitīt pagātnes bezgalību, sacīja Towsners.
Viņš piebilda, ka visa tā dīvainība ir iemesls tam, ka matemātiķi uzstāj, ka ir stingri jādefinē viņu vārdi. Ja viss nav kārtībā, mūsu parasto cilvēka intuīciju ir grūti atdalīt no tā, ko var pierādīt matemātiski.
"Matemātika jums saka:" Iedziļinieties dziļi, kas skaitās? "Sacīja Towsners.
Mums, vienkārši mirstīgajiem, šīs idejas varētu būt grūti pilnībā aprēķināt. Cik precīzi strādājošie matemātiķi ikdienā tiek galā ar visu šo smieklīgo biznesu?
"Liela daļa no tā ir prakse," sacīja Towsners. "Jūs attīstāt jaunas intuīcijas, izmantojot ekspozīciju, un, kad intuīcija neizdodas, jūs varat teikt:" Mēs runājam par šo precīzo, soli pa solim stingro pierādījumu. " Tātad, ja šis pierādījums ir pārsteidzošs, mēs joprojām varam pārbaudīt, vai tas ir pareizs, un pēc tam iemācīties attīstīt jaunu intuīciju. "
