Vai matemātiķu komanda vienkārši spēra lielu soli, lai atbildētu uz 160 gadus vecu, miljonu dolāru lielu matemātikas jautājumu?
Var būt. Apkalpe atrisināja vairākus citus, mazākus jautājumus jomā, ko sauc par skaitļu teoriju. To darot, viņi ir no jauna atvēruši veco avēniju, kas galu galā varētu radīt atbildi uz veco jautājumu: vai Rīmana hipotēze ir pareiza?
Reimaņa hipotēze ir fundamentāls matemātisks pieņēmums, kam ir milzīga ietekme uz pārējo matemātiku. Tas veido pamatu daudzām citām matemātiskām idejām - bet neviens nezina, vai tā ir taisnība. Tās derīgums ir kļuvis par vienu no slavenākajiem matemātikas atklātajiem jautājumiem. Tā ir viena no septiņām "Tūkstošgades problēmām", kas tika izklāstītas 2000. gadā, ar solījumu, ka tas, kurš tās atrisinās, iegūs miljonu ASV dolāru. (Kopš tā laika ir atrisināta tikai viena no problēmām.)
No kurienes radās šī ideja?
Jau 1859. gadā vācu matemātiķis Bernhards Riemans ierosināja atbildi uz īpaši sarežģītu matemātikas vienādojumu. Viņa hipotēze ir šāda: katra Riemann Zeta funkcijas ne-triviālā nulles reālā daļa ir 1/2. Tas ir diezgan abstrakts matemātisks paziņojums, kas saistīts ar skaitļiem, kurus varat ievietot noteiktā matemātiskajā funkcijā, lai šī funkcija būtu vienāda ar nulli. Bet izrādās, ka tai ir liela nozīme, vissvarīgāk attiecībā uz jautājumiem par to, cik bieži jūs sastapsit sākotnējos skaitļus, kad jūs rēķināsit līdz bezgalībai.
Vēlāk atgriezīsimies pie hipotēzes detaļām. Bet tagad ir svarīgi zināt: ja Riemana hipotēze ir patiesa, tā matemātikā atbild uz daudziem jautājumiem.
"Tik bieži skaitļu teorijā notiek tā, ka, ja pieņemat Riemana hipotēzi, tad jūs spējat pierādīt visa veida citus rezultātus," Lola Tompsone, numuru teorētiķe Oberlinas koledžā Ohaio, kura nebija iesaistīta šajā jaunākajā pētījumā teica.
Bieži vien, viņa stāstīja Live Science, numuru teorētiķi vispirms pierādīs, ka kaut kas ir taisnība, ja Riemann hipotēze ir patiesa. Tad viņi izmantos šo pierādījumu kā sava veida atspēriena punktu sarežģītāka pierādījuma iegūšanai, kas parāda, ka viņu sākotnējais secinājums ir patiess neatkarīgi no tā, vai Rīmana hipotēze ir patiesa.
Fakts, ka šis triks darbojas, viņa sacīja, pārliecina daudzus matemātiķus, ka Rīmana hipotēzei ir jābūt patiesai.
Bet patiesība ir tāda, ka neviens nezina.
Neliels solis pretī pierādījumiem?
Tātad, kā šķita, ka šī mazā matemātiķu komanda mūs tuvina risinājumam?
"Ko mēs esam izdarījuši mūsu dokumentā," sacīja Kens Ono, Emory universitātes numuru teorētiķis un jaunā pierādījuma līdzautors, "vai mēs esam pārskatījuši ļoti tehnisku kritēriju, kas ir līdzvērtīgs Riemann hipotēzei ... un mēs pierādījām lielu daļa no tā. Mēs pierādījām lielu šī kritērija daļu. "
"Kritērijs, kas ir līdzvērtīgs Riemann hipotēzei", šajā gadījumā attiecas uz atsevišķu paziņojumu, kas matemātiski ir līdzvērtīgs Riemann hipotēzei.
No pirmā acu uzmetiena nav acīmredzams, kāpēc abi apgalvojumi ir tik savstarpēji saistīti. (Kritērijam ir sakars ar to, ko sauc par “Jensen polinomu hiperboliskumu”.) Bet 1920. gados ungāru matemātiķis vārdā Džordžs Pūlija pierādīja, ka, ja šis kritērijs ir patiess, tad Riemann hipotēze ir patiesa - un otrādi. Tas ir senais piedāvātais ceļš uz hipotēzes pierādīšanu, bet tas, no kura lielā mērā bija jāatsakās.
Ono un viņa kolēģi dokumentā, kas publicēts 21. maijā žurnālā Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS), pierādīja, ka daudzos gadījumos kritērijs ir taisnība.
Bet matemātikā ar daudziem nepietiek, lai tos uzskatītu par pierādījumu. Joprojām ir daži gadījumi, kad viņi nezina, vai kritērijs ir patiess vai nepatiess.
"Tas ir tāpat kā spēlēt miljonu skaitļu Powerball," sacīja Ono. "Un jūs zināt visus ciparus, izņemot pēdējos 20. Ja pat viens no šiem pēdējiem 20 numuriem ir nepareizs, jūs zaudējat.… Tas joprojām varētu viss sabrukt."
Pētniekiem būtu jānāk klajā ar vēl sarežģītākiem pierādījumiem, lai pierādītu, ka kritērijs ir patiess visos gadījumos, tādējādi pierādot Romēna hipotēzi. Un nav skaidrs, cik tālu ir šāds pierādījums, sacīja Ono.
Cik liels darījums ir ar šo papīru?
Rīmana hipotēzes ziņā ir grūti pateikt, cik liels darījums tas ir. Daudz kas ir atkarīgs no tā, kas notiks tālāk.
"Šis ir tikai viens no daudzajiem Riemana hipotēzes ekvivalentiem formulējumiem," sacīja Tompsons.
Citiem vārdiem sakot, ir daudz citu ideju, kas, tāpat kā šis kritērijs, pierādītu, ka Rīmana hipotēze ir patiesa, ja tās pašas tiktu pierādītas.
"Tātad, tas tiešām ir grūti zināt, cik liels ir progress, jo, no vienas puses, tas ir progresējis šajā virzienā. Bet ir tik daudz līdzvērtīgu formulējumu, ka varbūt šis virziens nenodrošinās Riemann hipotēzi. Varbūt kāds no tā vietā būs citas līdzvērtīgas teorēmas, ja kāds var pierādīt kādu no tām, "sacīja Tompsons.
Ja pierādījumi parādīsies šajā virzienā, tas, iespējams, nozīmēs, ka Ono un viņa kolēģi ir izstrādājuši svarīgu pamata ietvaru Rīmana hipotēzes risināšanai. Bet, ja tas parādīsies kaut kur citur, tad šis dokuments izrādīsies maznozīmīgs.
Tomēr matemātiķi ir pārsteigti.
"Lai gan tas vēl ir tālu no Rīmana hipotēzes pierādīšanas, tas ir liels solis uz priekšu," pievienotajā Prinčtonas numuru teorētiņā Encrico Bombieri, kurš nebija iesaistīts komandas izpētē, pievienotajā 23. maija PNAS rakstā rakstīja. "Nav šaubu, ka šis dokuments iedvesmos turpināt fundamentālu darbu citās skaitļu teorijas jomās, kā arī matemātiskajā fizikā."
(Bombieri 1974. gadā ieguva Lauku medaļu - visprestižāko balvu matemātikā - lielā mērā par darbu, kas saistīts ar Rīmana hipotēzi.)
Ko vienalga nozīmē Rīmana hipotēze?
Es apsolīju, ka atgriezīsimies pie šī jautājuma. Šeit atkal ir Rīmana hipotēze: Katra Riemann zeta funkcijas netriviāla nulles reālā daļa ir 1/2.
Sadalīsim to atbilstoši tam, kā to skaidroja Tompsons un Ono.
Pirmkārt, kāda ir Riemann zeta funkcija?
Matemātikā funkcija ir saistība starp dažādiem matemātiskiem lielumiem. Vienkāršs varētu izskatīties šādi: y = 2x.
Riemann zeta funkcija ievēro tos pašus pamatprincipus. Tikai tas ir daudz sarežģītāk. Lūk, kā tas izskatās.
Tā ir bezgalīgas secības summa, kurā katrs termins - pirmie daži ir 1/1 ^ s, 1/2 ^ s un 1/3 ^ s - tiek pievienots iepriekšējiem terminiem. Šīs elipsi nozīmē, ka sērija funkcijā turpinās tāpat kā mūžīgi.
Tagad mēs varam atbildēt uz otro jautājumu: kāda ir nulles vērtība Riemann zeta funkcijai?
Tas ir vieglāk. Funkcijas "nulle" ir jebkurš skaitlis, kuru varat ievadīt x, un tas izraisa funkcijas vienādu ar nulli.
Nākamais jautājums: kāda ir vienas no šīm nullēm "reālā daļa", un ko tas nozīmē, ka tā ir vienāda ar 1/2?
Riemann zeta funkcija ietver to, ko matemātiķi sauc par "sarežģītiem numuriem". Sarežģīts skaitlis izskatās šādi: a + b * i.
Šajā vienādojumā "a" un "b" apzīmē visus reālos skaitļus. Reālais skaitlis var būt jebkas no mīnus 3 līdz nullei līdz 4,9234, pi vai 1 miljardam. Bet ir arī cits skaitļu veids: iedomāti skaitļi. Iedomāti skaitļi parādās, ja ņem negatīvā skaitļa kvadrātsakni, un tie ir svarīgi, parādot visu veidu matemātiskos kontekstos.
Vienkāršākais iedomātais skaitlis ir kvadrātsakne -1, ko raksta kā "i". Kompleksais skaitlis ir reālais skaitlis ("a") plus vēl viens reālais skaitlis ("b") reizes i. Kompleksa skaitļa "reālā daļa" ir tāda, ka "a".
Dažas Riemann zeta funkcijas nulles, negatīvie veseli skaitļi no -10 līdz 0, Reimaņa hipotēzei nav jāņem vērā. Tās tiek uzskatītas par "triviālām" nullēm, jo tās ir reālie skaitļi, nevis sarežģīti skaitļi. Visas pārējās nulles ir "ne-triviāls" un sarežģīts skaitlis.
Riemann hipotēze nosaka, ka tad, kad Riemann zeta funkcija šķērso nulli (izņemot tās nulles no -10 līdz 0), kompleksa skaitļa reālajai daļai jābūt vienādai ar 1/2.
Šī mazā pretenzija varētu neizklausīties ļoti svarīga. Bet tas ir. Un mēs, iespējams, esam tikai nedaudz vairāk kā desmit gadus tuvāk tās risināšanai.
